Question

【题目】在棱长为2的正方体中，
（1）求异面直线BD与B1C所成的角
（2）求证：平面ACB1⊥平面B1D1DB．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接B1D1，CD1，

可得△C1BD1为等边三角形，

由B1D1∥BD，

可得∠CB1D1为异面直线BD与B1C所成的角（或补角），

由∠CB1D1=60°，

可得异面直线BD与B1C所成的角为60°

（2）解：证明：设AC和BD相交于O，

连接OB1，

由正方形ABCD可知AC⊥BD，

△ACB1为等边三角形，O为AC的中点，

可得AC⊥OB1，

BD∩OB1=O，BD平面B1D1DB，OB1平面B1D1DB，

即有AC⊥平面B1D1DB，

又AC平面ACB1，

则平面ACB1⊥平面B1D1DB．

【解析】（1）连接B1D1 ， CD1 ， 由B1D1∥BD，可得∠CB1D1为异面直线BD与B1C所成的角（或补角），运用等边三角形的定义，即可得到所求角；（2）设AC和BD相交于O，连接OB1 ， 由正方形对角线垂直和等边三角形的性质，可得AC⊥平面B1D1DB，再由面面垂直的判定定理，即可得证．
【考点精析】关于本题考查的异面直线及其所成的角和平面与平面垂直的判定，需要了解异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能得出正确答案．