Question

3．过点P（2，1）的直线l与函数f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$的图象交于A，B两点，O为坐标原点，则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}$=（　　）

• A． $\sqrt{5}$
• B． 2$\sqrt{5}$
• C． 5
• D． 10

Answer 1

分析 f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$=1+$\frac{\frac{7}{2}}{x-2}$，可得函数f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$的图象关于点P（2，1）对称，过点P（2，1）的直线l与函数f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$的图象交于A，B两点，A，B两点关于点P（2，1）对称⇒$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OP}•（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）=2{\overrightarrow{OP}}^{2}$即可．

解答 解：f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$=1+$\frac{\frac{7}{2}}{x-2}$，
∴函数f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$的图象关于点P（2，1）对称，
∴过点P（2，1）的直线l与函数f（x）=$\frac{2x+3}{2x-4}$的图象交于A，B两点，
A，B两点关于点P（2，1）对称，∴$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OP}$，
则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OP}•（\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}）=2{\overrightarrow{OP}}^{2}$，|$\overrightarrow{OP}$|=$\sqrt{{2}^{2}+1}=\sqrt{5}$，
∴则$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OP}$=2×5=10．
故选：D．

点评 本题考查了函数的对称性及向量的运算，属于中档题．