Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，长轴在x轴上，F₁、F₂分别为其左、右焦点，P在椭圆上任意一点，且

F1P

•

F2P

的最大值为1，最小值为-2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A为椭圆C的右顶点，直线l是与椭圆交于M、N两点的任意一条直线，若AM⊥AN，证明直线l过定点．

Answer 1

分析：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，p（x₀，y₀）为椭圆上任意一点，

F1P

•

F2P

=x02+y02-c2，由

x02

a2

+

y02

b2

=1，知

F1P

•

F2P

=x02+b2- 

b2

a2

x02-c2=

c2

a2

x02+b2-c2．由此能求出椭圆方程．
（2）①若直线l不垂直于x轴，设该直线方程为y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由

y=kx+m x2 4 +y2=1

得x²+4（k²x²+2kmx+m²）=4，由此能求出l：y=-

5

6

mx+m=m(-

5

6

x+1)过定点（

6

5

，0）．②若直线l垂直于x轴，设l与x轴交于点（x₀，0），由椭圆的对称性知△MNA为等腰Rt△，

1- x02 4

=2-x0，解得x0=

6

5

此时直线l也过定点（

6

5

，0）．由此知，直线l恒过定点（

6

5

，0）．

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，p（x₀，y₀）为椭圆上任意一点，
∴

F1P

=(x0+c，y0)，

F2p

=(x0-c，y0)，
∴

F1P

•

F2P

=x02+y02-c2，
∵

x02

a2

+

y02

b2

=1，
∴

F1P

•

F2P

=x02+b2- 

b2

a2

x02-c2=

c2

a2

x02+b2-c2．
∵0≤x₀²≤a²，∴b2-c2≤ 

F1P

•

F2P

≤b2，∴

b2=1 b2-c2=-2

，∴

b2=1 c2=3

，∴a²=4，
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1．
（2）①若直线l不垂直于x轴，设该直线方程为y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由

y=kx+m x2 4 +y2=1

得x²+4（k²x²+2kmx+m²）=4，
化简，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，∴x1+x2=-

8km

1+4k2

，x1x2=

4m2-4

1+4k2

，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

m2-4k2

1+4k2

．
∵AM⊥AN，∴

AM

•

AN

=y1y2+(x1-2) (x2-2)=0，
∴y₁y₂+x₁x₂-2（x₁+x₂）+4=0，
∴

m2-4k2

1+4k2

+

4m2-4

1+4k2

+

16km

1+4k2

+4=0．整理，得12k²+16km+5m²=0，
∴k=-

m

2

或k=-

5

6

m，
当k=-

m

2

时，l：y=-

m

2

mx+m=m(-

x

2

+1)过定点（2，0），不满足题意．
当k=-

5

6

m时，l：y=-

5

6

mx+m=m(-

5

6

x+1)过定点（

6

5

，0）．
②若直线l垂直于x轴，设l与x轴交于点（x₀，0），由椭圆的对称性知△MNA为等腰Rt△，
∴

1- x02 4

=2-x0，解得x0=

6

5

或2（舍），即此时直线l也过定点（

6

5

，0）．
由①②知，直线l恒过定点（

6

5

，0）．

点评：本题考查直线 和圆锥曲线的综合应用，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．