Question

【题目】已知函数f（x）=x2+2ax+2，x∈[﹣5，5]．
（1）当a=﹣1时，求函数f（x）的最大值和最小值；
（2）当a∈R时，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：当a=﹣1时，函数f（x）=x2﹣2x+2的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，

由x∈[﹣5，5]得：

x=﹣5时，函数取最大值37，

x=1时，函数取最小值1

（2）解：函数f（x）=x2+2ax+2的图象是开口朝上，且以直线x=﹣a为对称轴的抛物线，

若﹣a＜﹣5，即a＞5，函数f（x）在[﹣5，5]上为增函数，

当x=﹣5时，函数取最小值27﹣10a；

若﹣5≤﹣a≤5，即﹣5≤a≤5，函数f（x）在[﹣5，﹣a]上为减函数，在[﹣a，5]上为增函数，

当x=﹣a时，函数取最小值2﹣a2；

若﹣a＞5，即a＜﹣5，函数f（x）在[﹣5，5]上为减函数，

当x=5时，函数取最小值27+10a．

综上可得：函数f（x）的最小值为：

【解析】（1）当a=﹣1时，函数f（x）=x2﹣2x+2的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，进而可得函数f（x）的最大值和最小值；（2）函数f（x）=x2+2ax+2的图象是开口朝上，且以直线x=﹣a为对称轴的抛物线，分类讨论对称轴与给定区间的位置关系，综合讨论结果，可得答案．
【考点精析】本题主要考查了二次函数的性质的相关知识点，需要掌握当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减才能正确解答此题．