Question

如图所示,D,E分别为△ABC的边AB,AC上的点,且不与△ABC的顶点重合.已知AE的长为m,AC的长为n,AD,AB的长是关于x的方程x²-14x+mn=0的两个根.

(1)证明:C,B,D,E四点共圆;
(2)若∠A=90°,且m=4,n=6,求C,B,D,E所在圆的半径.

Answer 1

(1)见解析   (2) 5

(1)证明:连接DE,根据题意在△ADE和△ACB中,

AD·AB=mn=AE·AC,
即=.
又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB,
因此∠ADE=∠ACB,
∴∠ACB+∠EDB=180°,
∴C、B、D、E四点共圆.
(2)解:m=4,n=6时,方程x²-14x+mn=0的两根为x₁=2,x₂=12,故AD=2,AB=12.
取CE的中点G,DB的中点F,分别过G、F作AC、AB的垂线,两垂线相交于H点,连接DH.
因为C、B、D、E四点共圆,
∴C、B、D、E四点所在圆的圆心为H,半径为DH.
由于∠A=90°,故GH∥AB,HF∥AC,
从而HF=AG=5,DF=×(12-2)=5,
故C、B、D、E四点所在圆的半径为5.