Question

已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t(单位：分钟)的变化规律是：θ＝m·2^t＋2^1－t(t≥0，并且m>0)．

(1)如果m＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度；

(2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．

Answer 1

 (1)依题意可得5＝2·2^t＋2^1－t，

即2·(2^t)²－5·2^t＋2＝0.  亦即(2·2^t－1)(2^t－2)＝0，

又∵t≥0，得2^t＝2，∴t＝1.

故经过1分钟该物体的温度为5摄氏度．

(2)法一：问题等价于m·2^t＋2^1－t≥2(t≥0)恒成立．

∵m·2^t＋2^1－t＝m·2^t＋2·2^－t≥2，　　①

∴只需2≥2，即m≥.

当且仅当·2^t＝2·2^－t，

即t＝1时，①式等号成立，

∴m的取值范围是[，＋∞)．

法二：问题等价于m·2^t＋2^1－t≥2(t≥0)恒成立，

即m≥2^1－t－2^1－2t＝2[2^－t－(2^－t)²]

＝－2(2^－t－)²＋(t≥0)恒成立．

∵t≥0，∴0<2^－t≤1，当2^－t＝，

即t＝1时，－2(2^－t－)²＋有最大值.

∴m的取值范围是[，＋∞)．