Question

20．函数f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x²+2x+3）的单调减区间是（-1，1），值域是[-2，+∞）．

Answer 1

分析 由对数式的真数大于0求出f（x）的定义域，由二次函数的性质求出内函数的增区间，即为复合函数的减区间；求出真数的取值范围，结合外函数是减函数可得原函数f（x）的值域．

解答 解：由题意得-x²+2x+3＞0，解得-1＜x＜3，
令t=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
因为函数t=-x²+2x+3在（-1，1）上递增，在（1，3）上递减，
且函数y=${log}_{\frac{1}{2}}^{t}$在定义域上递减，
所以f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x²+2x+3）的单调减区间是（-1，1），
因为-1＜x＜3，所以0＜t≤4，
则f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$（-x²+2x+3）≥${log}_{\frac{1}{2}}^{4}$=-2，
所以函数的值域是[-2，+∞），
故答案为：（-1，1）；[-2，+∞）．

点评 本题考查了对数函数的定义域、单调性，二次函数的性质，与对数函数有关的复合函数的单调性，考查了对数函数值域的求法，是中档题．