【题目】在正三棱柱中,,点D是BC的中点,点在上,且.
(1)求证: ∥平面;
(2)求证:平面⊥平面.
【答案】(1)详见解析 (2)详见解析
【解析】
试题分析:(1)证明线面平行,一般利用线面平行的判定定理,即从线线平行出发给予证明,而线线平行的寻找与论证往往需要利用平面几何知识,如本题利用三角形中位线性质得到线线平行.设, 则是的中点,而已知是的中点,因此. (2)证明面面垂直,一般利用面面垂直的判定定理,即从线面垂直出发给予证明,而线面垂直的证明,往往需要多次利用线面垂直的性质定理与判定定理.由直三棱柱性质得侧棱垂直于底面,因此,由正三角形性质得,因此平面.从而. 又由平几何知识可得,因此平面.进而有平面⊥平面.
试题解析:(1) 记,连接.
∵四边形为矩形,∴是的中点,
又∵是的中点,∴.·······3分
又∵平面,平面,
∴∥平面.·······6分
(2)∵是正三角形,是的中点,
∴.
∵平面⊥平面,
平面平面,平面,
∴平面.·······9分
【或利用⊥平面,证明平面.】
∵平面,∴.
∵,,是中点,
∴,
∴,·······10分
∴,∴,
∴,又,平面,
∴平面.·······12分
又∵平面,∴平面平面.·······14分
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【题目】200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示,则时速在[50,70)的汽车大约( )
A.60辆
B.80辆
C.100辆
D.120辆
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【题目】已知数列的前项和为,满足,且,正项数列满足,其前7项和为42.
(1)求数列和的通项公式;
(2)令,数列的前项和为,若对任意正整数,都有,求实数的取值范围;
(3)将数列的项按照“当为奇数时,放在前面;当为偶数时,放在前面”的要求进行排列,得到一个新的数列:,求这个新数列的前项和.
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【题目】已知过点且离心率为的椭圆的中心在原点,焦点在轴上.
(1)求椭圆的方程;
(2)设点是椭圆的左准线与轴的交点,过点的直线与椭圆相交于两点,记椭圆的左,右焦点分别为,上下两个顶点分别为.当线段的中点落在四边形内(包括边界)时,求直线斜率的取值范围.
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【题目】如图,已知椭圆的左右顶点分别为,右焦点为,焦距为,点是椭圆C上异于两点的动点, 的面积最大值为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线与直线交于点,试判断以为直径的圆与直线的位置关系,并作出证明.
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【题目】如图,四边形中, 为正三角形, , , 与中心点,将沿边折起,使点至点,已知与平面所成的角为.
(1)求证:平面平面;
(2)求已知二面角的余弦值.
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【题目】“大众创业,万众创新”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号.某生产企业积极响应号召,大力研发新产品.为了对新研发的一批产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销,得到一组销售数据,如下表所示:
已知.
(1)求出的值;
(2)已知变量, 具有线性相关关系,求产品销量(件)关于试销单价(元)的线性回归方程;
(3)用表示用正确的线性回归方程得到的与对应的产品销量的估计值.当销售数据的残差的绝对值时,则将销售数据称为一个“好数据”.现从6个销售数据中任取2个,求抽取的2个销售数据中至少有1个是“好数据”的概率.
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