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    （2009•杨浦区一模）已知△OAB，
    OA
    =
    a
    ，
    OB
    =
    b
    ，|
    a
    |=
    		2
    ，|
    b
    |=
    		3
    ，
    a
    •
    b
    =1    ，边AB上一点P1，这里P1异于A、B．由P1引边OB的垂线P1Q1，Q1是垂足，再由Q1引边OA的垂线Q1R1，R1是垂足．又由R1引边AB的垂线R1P2，P2是垂足．同样的操作连续进行，得到点　Pn、Qn、Rn（n∈N*）．设 
    APn
    =tn(
    b
    -
    a
    )(0    ＜tn＜1），如图．
    （1）求|
    AB
    |    的值；
    （2）某同学对上述已知条件的研究发现如下结论：
    BQ1
    =-
    2
    3
    (1-t1)
    b
    ，问该同学这个结论是否正确？并说明理由；
    （3）用t1和n表示tn．
    分析：（1）欲求|
    AB
    |    的值，先求其平方．利用三角形OAB中的边角条件即可求得 |
    AB
    |2    ，从而得出|
    AB
    |=
    		3
    ；
    （2）该同学的结论正确．由（1）与已知，得三角形OAB的三边长，由余弦定理结合向量条件即可证得．
    （3）结合图形，可得 tn+1=-
    1
    9
    tn+
    5
    18
    变形为：tn+1-
    1
    4
    =-
    1
    9
    (tn-
    1
    4
    )    得到{tn-
    1
    4
    }构成一个等比数列，公比为-
    1
    4
    ，利用等比数列的通项公式即可表示出tn
    解答：解：（1）因为△OAB，
    OA
    =
    a
    ，
    OB
    =
    b
    ，|
    a
    |=
    		2
    ，|
    b
    |=
    		3
    ，
    a
    •
    b
    =1    -----（1分）
    则 |
    AB
    |2=|
    b
    -
    a
    |2=|
    b
    |2+|
    a
    |2-2
    a
    •
    b
    =3    ；所以，|
    AB
    |=
    		3
    --------------（4分）
    （2）该同学的结论正确．----------------------------（5分）
    由（1）与已知，得|
    AB
    |=
    		3
    ，|
    OB
    |=
    		3
    ，|
    OA
    |=
    		2

    由余弦定理  cos∠ABO=
    |
    OB
    |    2    +|AB|2-|OA|2
    2|
    OB
    ||
    AB
    |
    =
    3+3-2
    2×
    		3
    ×
    		3
    =
    2
    3
    -----------------（6分）
    又∵|
    AP1
    |=t1|
    b
    -
    a
    |=
    		3
    t1    ，则|
    BP1
    |=|
    AB
    |-|
    AP1
    |=
    		3
    -
    		3
    t1
    则|
    BQ1
    |=|
    BP
    1    |cos∠ABO=
    2
    		3
    3
    (1-t1)    ，所以，
    BQ1
    =-
    2
    3
    (1-t1)
    b
    ---------（8分）
    （3）结合图形，可得 tn+1=-
    1
    9
    tn+
    5
    18
    ---------------------（14分）
    则tn+1-
    1
    4
    =-
    1
    9
    (tn-
    1
    4
    )    ------------------------（16分）
    ∴{tn-
    1
    4
    }构成一个等比数列，公比为-
    1
    4
    ，
    故tn=
    1
    4
    +(t1-
    1
    4
    )(-
    1
    9
    )n-1(n≥2，n∈N*)    --------------（18分）
    点评：本小题主要考查向量模、解三角形的应用、数列的通项公式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．属于基础题．
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