Question

若{a_n} 是各项均不为零的等差数列，公差为d，S_n为其前n项和，且满足a_n²=S_2n-1，n∈N^*．数列{b_n}满足b_n=

1

anan+1

 为数列{b_n}的前n项和．
（Ⅰ）求a_n和T_n；
（Ⅱ）是否存在正整数m、n（1＜m＜n），使得T₁、T_m、T_n 成等比数列？若存在，求出所有m、n的值； 若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据等差数列的公式以及利用裂项法即可求a_n和T_n；
（Ⅱ）根据等比数列的等比中项的性质，建立方程关系即可得到结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n²=S_2n-1，
∴令n=1，2得a₁=1，d=2，
则a_n=2n-1，b_n=

1

anan+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
则T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+••+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

．

（Ⅱ）假设存在正整数m、n（1＜m＜n），使得T₁、T_m、T_n 成等比数列，
则T_m²=T₁T_n，
即（

m

2m+1

）²=

1

3

•

n

2n+1

．
得

3

n

=

-2m2+4m+1

m2

＞0，
即2m²-4m-1＜0，解得1-

6

2

＜m＜1+

6

2

，
∵m是正整数且m＞1，
∴m=2，此时n=12当且仅当m=2，n=12时，T₁、T_m、T_n成等比数列．

点评：本题主要考查等差数列和等比数列的应用，利用等差数列和等比数列的通项公式求出数列的通项公式是解决本题的关键．