Question

定义在（0，+∞）上的函数f（x），如果对任意x∈（0，+∞），恒有f（kx）=kf（x）（k≥2，k∈N^*）成立，则称f（x）为k阶缩放函数．
（1）已知函数f（x）为二阶缩放函数，且当x∈（1，2]时，f(x)=1+log

1

2

x，求f(2

2

)的值；
（2）已知函数f（x）为二阶缩放函数，且当x∈（1，2]时，f(x)=

2x-x2

，求证：函数y=f（x）-x在（1，8）上无零点；
（3）已知函数f（x）为k阶缩放函数，且当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1），求f（x）在（0，kⁿ⁺¹]（n∈N）上的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据二阶缩放函数的定义，直接代入进行求值即可；
（2）根据函数零点的定义和性质判断函数y=f（x）-x在（1，8）上无零点；
（3）根据k阶缩放函数成立的条件建立条件关系即可求出结论．

解答：解：（1）由

2

∈(1， 2]得，f(

2

)=1+log

1

2

2

=

1

2

…（2分）
由题中条件得f(2

2

)=2f(

2

)=2×

1

2

=1…（4分）
（2）当x∈（2ⁱ，2ⁱ⁺¹]（i=0，1，2）时，

x

2i

∈(1，2]，依题意可得：f(x)=2f(

x

2

)=22f(

x

22

)=…=2if(

x

2i

)=2i

2• x 2i -( x 2i )2

=

2i+1x-x2

．…（6分）
方程f（x）-x=0?

2i+1x-x2

=x?x=0或x=2ⁱ，0与2ⁱ均不属于（2ⁱ，2ⁱ⁺¹]（（i=0，1，2））…（8分）
当x∈（2ⁱ，2ⁱ⁺¹]（（i=0，1，2））时，方程f（x）-x=0无实数解．
注意到（1，8）=（2⁰，2¹]∪（2¹，2²]∪（2²，2³），所以函数y=f（x）-x在（1，8）上无零点．…（10分）
（3）当x∈（k^j，k^j+1]，j∈Z时，有

x

kj

∈(1，k]，依题意可得：f(x)=kf(

x

k

)=k2f(

x

k2

)=…=kjf(

x

kj

)
当x∈（1，k]时，f（x）的取值范围是[0，1）…（12分）
所以当x∈（k^j，k^j+1]，j∈Z时，f（x）的取值范围是[0，k^j）．…（14分）
由于（0，kⁿ⁺¹]=（kⁿ，kⁿ⁺¹]∪（k^n-1，kⁿ]∪…∪（k⁰，k]∪（k^-1，k⁰]∪…（16分）
所以函数f（x）在（0，kⁿ⁺¹]（n∈N）上的取值范围是：[0，kⁿ）∪[0，k^n-1）∪…∪[0，k⁰）∪[0，k^-1）∪…=[0，kⁿ）．…（18分）

点评：本题主要考查新定义的应用，正确理解k阶缩放函数的定义是解决本题的关键，综合性强，难度较大．