Question

在单调递增数列{a_n}中，a₁=1且a_n+1=

2a 2 n

an+1-an

（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）已知b_n=

3n-1

an

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n+1=

2a 2 n

an+1-an

，得

an+1

an

-2

an

an+1

=1，令t=

an+1

an

＞1，即可求得

an+1

an

=2．说明数列{a_n}是以1为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得an=2n-1；
（2）把{a_n}的通项公式代入b_n=

3n-1

an

，然后利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（1）由a_n+1=

2a 2 n

an+1-an

，得an+12-2an2=an+1an，
∴

an+1

an

-2

an

an+1

=1，令t=

an+1

an

＞1，
则t-

2

t

=1，解得：t=2．
即

an+1

an

=2．
则数列{a_n}是以1为首项，以2为公比的等比数列，
则an=2n-1；
（2）b_n=

3n-1

an

=

3n-1

2n-1

，
则Tn=

2

20

+

5

21

+

8

22

+…+

3n-1

2n-1

．

1

2

Tn=

2

21

+

5

22

+…+

3n-1

2n

．
两式作差得：

1

2

Tn=2+3(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

)-

3n-1

2n

=2+3•

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

3n-1

2n

=5-

3

2n-1

-

3n-1

2n

．
∴Tn=10-

3

2n-2

-

3n-1

2n-1

．

点评：本题考查了数列的函数特性，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．