Question

某高校在2013年的自主招生考试成绩中随机抽取40名学生的笔试成绩，按成绩共分成五组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示，同时规定成绩在85分以上（含85分）的学生为“优秀”，成绩小于85分的学生为“良好”，且只有成绩为“优秀”的学生才能获得面试资格．
（Ⅰ）求出第4组的频率，并补全频率分布直方图；
（Ⅱ）根据样本频率分布直方图估计样本的中位数；
（Ⅲ）如果用分层抽样的方法从“优秀”和“良好” 的学生中共选出5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“优秀”的概率是多少？

Answer 1

（Ⅰ）0.2，图详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）

试题分析：在频率分布直方图中需要掌握①：每个小矩形的面积代表落在这个组内数据的频率，所有小矩形的面积和等于1，②利用频率分布直方图可以估计总体的数字特征:众数、中位数、平均数，其中众数是最高矩形的中点横坐标；中位数是两边矩形的面积和各为的分界点；平均数等于每个小矩形面积乘以中点横坐标的累加值，③落在每个小矩形内的数据是用其中点横坐标刻画的，（Ⅰ）根据频率和等于1，可计算第四组的频率，然后除以组距，就是这个组的高，即可补全频率分布直方图；（Ⅱ）设样本的中位数为，则，可计算的值；（Ⅲ）根据分层抽样可计算出抽取的5人中，优秀3人，良好2人，从中选2人，共有10种结果，其中“全为良好”包括1种结果，∴.

试题解析：（Ⅰ）其它组的频率为（0．01+0．07+0．06+0．02）×5=0．8，
所以第四组的频率为0．2，-----2分
频率/组距是0.04
频率分布图如图：                         4分

（Ⅱ）设样本的中位数为，则  5分
解得
所以样本中位数的估计值为      6分
（Ⅲ）依题意良好的人数为人，优秀的人数为人抽取比例为1/8，所以采用分层抽样的方法抽取的5人中有优秀3人，良好2人   8分
法1：记从这5人中选2人至少有1人是优秀为事件M
将考试成绩优秀的三名学生记为A,B，C， 考试成绩良好的两名学生记为a,b
从这5人中任选2人的所有基本事件包括：AB,AC,BC，Aa,Ab,Ba,Bb，Ca,Cb,ab
共10个基本事件                                 9分   
事件M含的情况是：AB,AC,BC，Aa,Ab,Ba,Bb，Ca,Cb，共9个   10分
所以                               12分
法2：P=