Question

已知动点到的距离比它到轴的距离多一个单位．
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）过点作曲线的切线，求切线的方程，并求出与曲线及轴所围成图形的面积．

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）切线的方程为：，所求的图形的面积为

试题分析：（Ⅰ）设动点M的坐标为，
依题意得：动点M到点的距离与它到直线的距离相等，
由抛物线定义知：M的轨迹C是以为焦点，直线为准线的抛物线，
其方程为：．　                                                           　……6分
（Ⅱ）∵曲线C的方程可写成：，
注意到点在曲线C上，过点N的切线斜率为，
故所求的切线的方程为：即．                                   ……9分
由定积分的几何意义，所求的图形的面积
．                                    ……13分
点评：解决轨迹方程问题时，经常先根据定义求出曲线类型再求解，因此圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义尤其重要，要熟练掌握，灵活应用.