Question

数列{a_n}满足a_n+2a_n=2a_n+1（n∈N*），且a₁=1，a₂=2，则数列{a_n}的前2011项的乘积为

1. A.
   2²⁰⁰⁹
2. B.
   2²⁰¹⁰
3. C.
   2²⁰¹¹
4. D.
   2²⁰¹²

Answer 1

B
分析：由a_n+2•a_n=2a_n+1①得a_n+1•a_n-1=2a_n（n≥2）②，两式相乘可得　a_n+2•a_n-1=4，从而可求a₁•a₂…a₆=2⁶，利用乘积函数的周期性可以确定答案．
解答：∵a_n+2a_n=2a_n+1，①
∴a_n+1•a_n-1=2a_n（n≥2）②
　　　①•②得：a_n+2•a_n-1=4（n≥2），
∴a₁•a₄=4，
　　　a₂•a₅=4，
　　　a₃•a₆=4，
…
∴a₁•a₂…a₆=4³=2⁶，a₇•a₈•…a₁₂=2⁶，…
∴a₁•a₂…a₂₀₁₁=（2⁶）³³⁵•a₁=（2⁶）³³⁵•1=2²⁰¹⁰．
故选B．
点评：本题考查数列的递推关系，解题的关键是把已知的关系式向下顺推一次，两式相乘，得到a_n+2•a_n-1=4（n≥2），再利用由一般到特殊的思想，得到连续六项之积为定值，从而使问题解决．