Question

椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F₁，F₂在x轴上，离心率e=．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求∠F₁AF₂的角平分线所在直线的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设椭圆方程为+=1，把点A（2，3）代入椭圆方程，把离心率e=用a，c表示，再根据b²=a²-c²，求出a²，b²，得椭圆方程；
（Ⅱ）可以设直线l上任一点坐标为（x，y），根据角平分线上的点到角两边距离相等得=|x-2|．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆E的方程为
+=1
由e=，得，b²=a²-c²=3c²，∴
将A（2，3）代入，有，解得：c=2，
∴椭圆E的方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F₁（-2，0），F₂（2，0），所以直线AF₁的方程为y=（x+2），
即3x-4y+6=0，直线AF₂的方程为x=2，由椭圆E的图形知，∠F₁AF₂的角平分线所在直线的斜率为正数
设P（x，y）为∠F₁AF₂的角平分线所在直线上任一点，则有=|x-2|
若3x-4y+6=-5x+10，得x+2y-8=0，其斜率为负，不合题意，舍去．
于是3x-4y+6=5x-10，即2x-y-1=0．
所以，∠F₁AF₂的角平分线所在直线的方程为2x-y-1=0
点评：对于椭圆解答题，一般都是设椭圆方程为+=1，根据题目满足的条件求出a²，b²，得椭圆方程，这一问通常比较简单；（2）对于角平分线问题，利用角平分线的几何意义，即角平分线上的点到角两边距离相等得方程．