Question

6．曲线C上任一点到定点F（1，0）的距离比到定直线x=-2的距离小1．A（x₁，y₁），B（y₂，y₂）为曲线C上任意一点，且x₁+x₂=2，线段AB的垂直平分线交x轴于点P
（1）求曲线C的轨迹方程及点P的坐标；
（2）是否存在过点F的直线l，使得它与曲线C交于M，N两点，且△PMN面积为8，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）依题意，曲线C上任一点到定点F（1，0）的距离等于到定直线x=-1的距离，由此可求曲线C的方程；设线段AB的中点为（x₀，y₀），求出线段AB的垂直平分线的方程，令y=0，可得点P的坐标；
（2）直线MN的方程代入抛物线方程，利用韦达定理，利用△PMN面积为8，即可求出直线l的方程．

解答 解：（1）∵曲线C上任一点到定点F（1，0）的距离比到定直线x=-2的距离小1，
∴曲线C上任一点到定点F（1，0）的距离等于到定直线x=-1的距离，
∴曲线C的轨迹是抛物线，方程为y²=4x；
设线段AB的中点为（x₀，y₀），
∵x₁+x₂=2，∴x₀=1，又k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$=$\frac{2}{{y}_{0}}$
∴线段AB的垂直平分线的方程为y-y₀=-$\frac{{y}_{0}}{2}$（x-1）．
令y=0，得x=3，故P（3，0）．
（2）直线MN的方程为y-y₀=$\frac{2}{{y}_{0}}$（x-1），与y²=4x联立，消去x得y²-2y₀y+2y₀²-4=0．
由韦达定理得y₁+y₂=2y₀，y₁y₂=2y₀²-4．
∴|MN|=$\sqrt{1+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}}$•$\sqrt{4{{y}_{0}}^{2}-8{{y}_{0}}^{2}+16}$=$\sqrt{（4+{{y}_{0}}^{2}）（4-{{y}_{0}}^{2}）}$
∵点P到直线MN的距离为h=$\sqrt{4+{{y}_{0}}^{2}}$
∴S_△PMN=$\frac{1}{2}$|MN|h=$\frac{1}{2}$•$\sqrt{（4+{{y}_{0}}^{2}）（4-{{y}_{0}}^{2}）}$•$\sqrt{4+{{y}_{0}}^{2}}$=8
∴y₀=±2，
∴直线MN的方程为x-y=0或x+y=0．

点评 本题考查抛物线的定义，考查抛物线的标准方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，属于中档题．