【题目】已知函数f( )=﹣ x3+ x2﹣m,g(x)=﹣ x3+mx2+(a+1)x+2xcosx﹣m.
(1)若曲线y=f(x)仅在两个不同的点A(x1 , f(x1)),B(x1 , f(x2))处的切线都经过点(2,t),求证:t=3m﹣8,或t=﹣ m3+ m2﹣m.
(2)当x∈[0,1]时,若f(x)≥g(x)恒成立,求a的取值范围.
【答案】
(1)解:证明:由f( )=﹣ x3+ x2﹣m,可得f(x)=﹣x3+mx2﹣m,
f′(x)=﹣3x2+2mx,可得A处的切线方程:y﹣(﹣x13+mx12﹣m)=(﹣3x12+2mx)(x﹣x1),
同理可得B处的切线方程:y﹣(﹣x23+mx22﹣m)=(﹣3x22+2mx)(x﹣x2),
代入点(2,t),可得x1,x2为方程t﹣(﹣x3+mx2﹣m)=(﹣3x2+2mx)(2﹣x)的两个不等实根,
化简整理可得,2x3﹣(m+6)x2+4mx﹣m﹣t=0,
令g(x)=2x3﹣(m+6)x2+4mx﹣m﹣t,g′(x)=6x2﹣2(m+6)x+4m=2(3x﹣m)(x﹣2),
由g′(x)=0,可得x=2或x= .
g(2)=3m﹣8﹣t,g( )=﹣ m3+ m2﹣m﹣t,
由题意可得g(x)必有一个极值为0,则t=3m﹣8,或t=﹣ m3+ m2﹣m
(2)解:当x∈[0,1]时,若f(x)≥g(x)恒成立,
即为﹣x3+mx2﹣m≥﹣ x3+mx2+(a+1)x+2xcosx﹣m,
即有 x3+(a+1)x+2xcosx≤0,
当x=0时,上式显然成立;
当0<x≤1时,即有﹣a﹣1≥ x2+2cosx恒成立,
令m(x)= x2+2cosx,m′(x)=x﹣2sinx,m′′(x)=1﹣2cosx,
由0<x≤1时,1<2cos1≤2cosx<2,则1﹣2cosx<0,
y=x﹣2sinx在(0,1]递减,可得x﹣2sinx<0,
则m(x)在(0,1]递减,可得m(x)<m(0)=2,
则﹣a﹣1≥2,解得a≤﹣3.
a的取值范围是(﹣∞,﹣3]
【解析】(1)求出f(x)的导数,可得A,B处的切线方程,代入点(2,t),可得x1 , x2为方程t﹣(﹣x3+mx2﹣m)=(﹣3x2+2mx)(2﹣x)的两个不等实根,化简整理可得,2x3﹣(m+6)x2+4mx﹣m﹣t=0,令g(x)=2x3﹣(m+6)x2+4mx﹣m﹣t,求出导数,由题意可得g(x)必有一个极值为0,计算即可得到证明;(2)由题意可得﹣x3+mx2﹣m≥﹣ x3+mx2+(a+1)x+2xcosx﹣m,即有 x3+(a+1)x+2xcosx≤0,讨论x=0,显然成立;当0<x≤1时,运用参数分离和构造函数法,求出导数,判断单调性,求出最值,即可得到所求a的范围.
【考点精析】认真审题,首先需要了解函数的最大(小)值与导数(求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值).
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【题目】在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acosB.
(1)证明:A=2B;
(2)若cosB= ,求cosC的值.
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【题目】已知函数f(x)= 的图象与g(x)的图象关于直线x= 对称,则g(x)的图象的一个对称中心为( )
A.( ,0)
B.( ,0)
C.( ,0)
D.( ,0)
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【题目】已知函数f(x)=|x﹣a|,g(x)=x2+2ax+1(a为正实数),满足f(0)=g(0);
函数F(x)=f(x)+g(x)+b定义域为D.
(1)求a的值;
(2)若存在x0∈D,使F(x0)=x0成立,求实数b的取值范围;
(3)若n为正整数,证明:<4.
(参考数据:lg3=0.3010, =0.1342,=0.0281, =0.0038)
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【题目】有下列说法:①若,,则;②若2=,分别表示的面积,则;③两个非零向量,若||=||+||,则与共线且反向;④若,则存在唯一实数使得,其中正确的说法个数为()
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】设斜率为2的直线l,过双曲线的右焦 点,且与双曲线的左、右两支分别相交,则双曲线离心率,e的取值范围是 ( )
A. e> B. e> C. 1<e< D. 1<e<
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【题目】已知函数f(x)=x2+|x|﹣|x﹣5|+2.
(1)求不等式f(x)<0的解集;
(2)若关于x的不等式|f(x)|≤m的整数解仅有11个,求m的取值范围.
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【题目】已知椭圆Г: (a>b>0)的左、右焦点分别为F1 , F2 , 离心率为 ,F2与椭圆上点的连线的中最短线段的长为 ﹣1.
(1)求椭圆Г的标准方程;
(2)已知Г上存在一点P,使得直线PF1 , PF2分别交椭圆Г于A,B,若 =2 , =λ (λ>0),求λ的值.
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【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为,椭圆过点,直线交轴于,且, 为坐标原点.
(1)求椭圆的方程;
(2)设是椭圆的上顶点,过点分别作直线交椭圆于两点,设这两条直线的斜率分别为,且,证明:直线过定点.
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