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在某平原上有一块低洼地区,一条地下河从最低点A处与大海连通,最低点A处海拔高度为1米,该地区过海平面的垂线AB的任意一个剖面与地面的交线均为相同的双曲线段MN,B为所在双曲线的中心(如图).由于温室效应,海平面逐年上升,自2000年起平均每年上升4厘米.据此推算,到2050年底该地区将有10千米2水面面积.请你推算,到2100年底该地区将有多大的水面面积?(提示:低洼水面是一个圆,圆的面积公式为s=πr2

解:选择海平面与剖面的交线为x轴,A,B所在直线为y轴,B为原点建立如图所示直角坐标系,

据题意可设曲线方程为①,
可知到2050年底海平面共上升了4×50=200(厘米),即2米,使该地区有水面面积10千米2
即当y=2时,πx2=107,代入①得,
故双曲线方程为②,
照此推算,到2100年底海平面共上升了4×100=400(厘米),即4米.
把y=4代入②得,πx2=50×106
所以该地区在2100年底将有水面面积50千米2
分析:首先由题意建立适当的平面直角坐标系,设出在所建坐标系下的双曲线方程为,根据题意,即到2050年底海平面共上升了4×50=200(厘米),即2米,使该地区有水面面积10千米2,相当于知道了双曲线上一个点的坐标,整体代入双曲线方程后可求b2,即双曲线的方程可求,到2100年底海平面共上升了4×100=400(厘米),即4米,在双曲线方程中把y代4整体求出πx2的值即可.
点评:本题考查了双曲线的应用,考查了整体运算思想,解答此题的关键在于读懂题意,是中档题.
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科目:高中数学 来源: 题型:

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年福建省福州市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

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科目:高中数学 来源:2012-2013学年福建省福州市文博中学高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

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