Question

（2013•莱芜二模）已知函数f(x)=2

2

cos(x+

π

4

)cos(x-

π

4

)+2

2

sinxcosx．
（I）求f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）在给出的坐标系中画出函数y=f（x）在[0，π]上的图象，并说明y=f（x）的图象是由y=sin2x的图象怎样变换得到的．

Answer 1

分析：（I）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（2x+

π

4

），由此可得它的最小正周期及最大值．
（Ⅱ）用五点法作出函数y=2sin（2x+

π

4

）在一个周期上的图象．

解答：解：（I） 函数f(x)=2

2

cos(x+

π

4

)cos(x-

π

4

)+2

2

sinxcosx 
=2

2

（cosxcos

π

4

-sinxsin

π

4

）（cosxcos

π

4

+sinxsin

π

4

）+

2

sin2x
=2

2

（

1

2

cos²x-

1

2

sin²x）+

2

sin2x=

2

cos2x+

2

sin2x=2sin（2x+

π

4

）．
故f（x）的最小正周期为

2π

2

=π，最大值为2．
（Ⅱ）列表：

x	0	π 8	3π 8	5π 8	7π 8
2x+ π 4	π 4	π 2	π	3π 2	2π	9π 4
f（x）	2	2	0	-2	0	2

如图所示：

把y=sin2x的图象向左平移

π

8

个单位，再把所得图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，即得函数f（x）的图象．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和最值，用五点法作出函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期上的图象，属于中档题．