Question

已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，焦点在x轴上，两准线间的距离为

9

2

，并且与直线y=

1

3

(x-4)相交所得线段中点的横坐标为-

2

3

，求这个双曲线方程．

Answer 1

分析：设求双曲线方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0），直线 y=

1

3

（x-4）与双曲线相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），将二者联立，结合线段中点的横坐标为-

2

3

，可求得线段中点的纵坐标为-

14

9

，再利用韦达定理可求得b²，c²与a²之间的关系，再由两准线间的距离为

9

2

，可求得这个双曲线方程．

解答：解：由题意可设所求双曲线方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
设直线 y=

1

3

（x-4）与双曲线相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

x1 a2 2- y1 b2 2=1(1) x2 a2 2- y2 b2 2=1(2)

（1）-（2）得：

(x1-x2)(x1+x2)

a2

-

(y1-y2)(y1+y2)

b2

=0
即

(x1+x2)b2

(y1+y2)a2

=

y1-y2

x1-x2

，
又由线段AB中点的横坐标为-

2

3

可得，其纵坐标为

1

3

(-

2

3

-4)=-

14

9

，
∴x1+x2=2×(-

2

3

)=-

4

3

，y1+y2=2×(-

14

9

)=-

28

9

．
又∵

y1-y2

x1-x2

=

1

3

，
∴

- 4 3 b2

- 28 9 a2

=

1

3

，
∴b2=

7

9

a2，c2=a2+b2=

16

9

a2，c=

4

3

a
又∵双曲线两准线间的距离为

9

2

，
∴2×

a2

c

=

9

2

，
∴2×

a2

4 3 a

=

9

2

∴a=3，a²=9，c²=

16

9

a²=16．
∴b²=c²-a²=7．
∴所求双曲线方程为：

x2

9

-

y2

7

=1．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，着重考查平方差法与韦达定理的使用，突出考查化归思想与方程思想，培养学生综合分析问题与解决问题的能力，属于难题．