Question

已知函数f （x）=lnx，g（x）=e^x．
（ I）若函数φ （x）=f （x）-，求函数φ （x）的单调区间；
（Ⅱ）设直线l为函数的图象上一点A（x₀，f （x₀））处的切线．证明：在区间（1，+∞）上存在唯一的x₀，使得直线l与曲线y=g（x）相切．

Answer 1

（Ⅰ）解：=，．（2分）
∵x＞0且x≠1，∴φ'（x）＞0
∴函数φ（x）的单调递增区间为（0，1）和（1，+∞）．（4分）
（Ⅱ）证明：∵，∴，
∴切线l的方程为，
即，①（6分）
设直线l与曲线y=g（x）相切于点，
∵g'（x）=e^x，∴，∴x₁=-lnx₀．（8分）
∴直线l也为，
即，②（9分）
由①②得 ，
∴．（11分）
下证：在区间（1，+∞）上x₀存在且唯一．
由（Ⅰ）可知，φ（x）=在区间（1，+∞）上递增．
又，，（13分）
结合零点存在性定理，说明方程φ（x）=0必在区间（e，e²）上有唯一的根，这个根就是所求的唯一x₀．
故结论成立．
分析：（Ⅰ）求导函数，确定导数恒大于0，从而可得求函数φ （x）的单调区间；
（Ⅱ）先求直线l为函数的图象上一点A（x₀，f （x₀））处的切线方程，再设直线l与曲线y=g（x）相切于点，进而可得，再证明在区间（1，+∞）上x₀存在且唯一即可．
点评：本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查曲线的切线，同时考查零点存在性定理，综合性比较强．