Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁，侧棱与底面垂直，P，Q分别是棱BB₁，CC₁上的点，AB⊥A₁Q，AC=2

3

，AA1=3，AB=

6

．
（1）求证：AC⊥A₁P；
（2）若M是△A₁PQ的重心，AM⊥面A₁PQ，求平面A₁PQ与面BCC₁B₁所成角（锐角）的余弦值．

Answer 1

分析：（1）要证：AC⊥A₁P，只需证AC⊥平面ABB₁A₁，要证AC⊥平面ABB₁A₁，由侧棱与底面垂直与AB⊥A₁Q，可得AB⊥平面ACC₁A₁，可得AC⊥AB，即可得证．
（2）若M是△A₁PQ的重心，AM⊥面A₁PQ，求平面A₁PQ与面BCC₁B₁所成角（锐角）的余弦值．只需求出两个平面的法向量，即可求得．

解答：解：（1）由已知AA₁⊥AB，又AB⊥A₁Q，∵AB⊥面AA₁C₁C，∴AB⊥AC，
又∵AC⊥AA₁，∴AC⊥面AA₁B₁B，∴AC⊥A₁P
（2）以AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，
设BP=z₁，CQ=z₂，则P(

6

，0，z1)，Q(0，2

3

，z2)，A1(0，0，3)，A（0，0，0）
又M是△A₁PQ的重心，可得M(

6?

3

，

2 3?

3

，

3+z1+z2

2

)
∴

AM

=(

6?

3

，

2 3?

3

，

3+z1+z2

2

)，
又

A1P

=(

6?

，0，z，-3)，

A1Q

=(0，2

3?

，z2-3)
∵

AM

⊥

A1P

，

AM

⊥

A1Q

，
∴

6 3 + (3+z1+z2)(z1-3) 3 =0 12 3 + (3+z1+z2)(z2-3) 3 =0

得

z1=2 z2=1

或

z1=1 z2=-1

（舍）
∴面A₁PQ的法向量为

AM

=(

6

3

，

3 3

2

，2)，
又面BB₁C₁C的一个法向量是(

1

6

，

1

2 3

，0)
∴面A₁PQ与面BCC₁B₁夹角θ的余弦值cosθ=

2 3

6 9 + 12 9 +4 1 6 + 1 12

=

2 6

9

．

点评：此题考查学生对线面垂直的判定与性质的理解与掌握，和用向量知识解决立体几何问题的能力和空间想象能力．