Question

已知函数f（x）=x²+1，x∈[0，1]的反函数为f^-1（x），则函数y=[f^-1（x）]²+f^-1（2x）的值域是（　　）

• A、[0，1]
• B、[1，1+

  3

  ]
• C、[1，2]
• D、{1}

Answer 1

分析：本题考查反函数的概念、反函数的求法、函数式的化简、函数值域的求法等相关知识．
根据y=x²+1及x∈[0，1]可得f^-1（x）的解析式，由此函数y=[f^-1（x）]²+f^-1（2x）的解析式可求，根据函数y=[f^-1（x）]²+f^-1（2x）成立的条件可以确定x的取值范围，进而求得值域．

解答：解：由y=x²+1解得：x=±

y-1

∵x∈[0，1]∴x=

y-1

且y∈[1，2]
∴原函数的反函数为f^-1（x）=

x-1

 x∈ [1，2]
由y=[f^-1（x）]²+f^-1（2x）
=(

x-1

) 2+

2x-1

=x+

2x-1

-1
∵函数y=[f^-1（x）]²+f^-1（2x）的定义域为

1≤x≤2 1≤2x≤2

解得：x∈{1}，此时y∈{1}，
即函数y=[f^-1（x）]²+f^-1（2x）的值域是{1}．
故选D

点评：本题虽小，但综合性强，展示了函数概念的深层次的问题，函数的值域是由函数的解析式和函数的定义域所确定，在本题体现的尤其突出．易错点表现在求函数y=[f^-1（x）]²+f^-1（2x）的定义域，它是由

1≤x≤2 1≤2x≤2

所确定．