[题目]如图.正三棱柱的所有棱长都为2. 为中点.试用空间向量知识解下列问题:(1)求证面,(2)求二面角的余弦值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，正三棱柱的所有棱长都为2，为中点，试用空间向量知识解下列问题：

（1）求证面；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）取BC中点O，连AO，在正三棱柱中，证得平面，进而取中点为,以O为原点建立空间直角坐标系，求得向量的坐标，利用向量法，即可证得面.

（2）设平面的法向量为,求得，又由（1）知面，得为平面的法向量，再利用向量的夹角公式，即可求解

取BC中点O，连AO，∵为正三角形，

∴，∵在正三棱柱中，

平面ABC平面,∴平面，

取中点为,以O为原点，,,的方向为，轴的正方向，建立空间直角坐标系，则.∴,

∵,.

∴，,∴面.

（2）设平面的法向量为,.

，∴，∴，，令，得为平面的一个法向量，由（1）知面，

∴为平面的法向量，

，

∴二面角的余弦值为

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（Ⅰ）求图中a的值；

（Ⅱ）估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数；

（III）在[1.5，2）、[2，2.5）这两组中采用分层抽样抽取9人，再从这9人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率．

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A.[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z
B.[2kπ﹣ ，2kπ+ ]，k∈Z
C.[kπ﹣ ，kπ+ ]，k∈Z
D.[2kπ﹣ ，2kπ+ ]，k∈Z