Question

设函数f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m>0.
(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；
(2)求函数f(x)的单调区间．

Answer 1

解：(1)当m＝1时，f(x)＝－x3＋x2，f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1.
(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1
令f′(x)＝0，解得x＝1－m，或x＝1＋m.
因为m>0，所以1＋m>1－m.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

x	(－∞，1－m)	1－m	(1－m，1＋m)	1＋m	(1＋m，＋∞)
f′(x)	－	0	＋	0	－
f(x)	?	极小值		极大值

所以f(x)在(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)内是减函数，在(1－m,1＋m)内是增函数．

略