Question

5．已知△ABC内接于圆O：x²+y²=1（O为坐标原点），且3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=0，
（1）求△AOC的面积；
（2）若∠xOA=-$\frac{π}{4}$，设以射线Ox为始边，射线OC为终边所形成的角为θ，判断θ的取值范围．
（3）在（2）的条件下，求C点的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$得，求出sin＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$＞=$\frac{4}{5}$，即可求△AOC的面积；
（2）若∠xOA=-$\frac{π}{4}$，设以射线Ox为始边，射线OC为终边所形成的角为θ，-＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$＞-$\frac{π}{4}$=θ+2kπ或＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$＞=θ+$\frac{π}{4}$+2kπ，k∈Z，即可判断θ的取值范围．
（3）在（2）的条件下，由题意，C点的坐标为（cosθ，sinθ），进而$\overrightarrow{OC}$=cosθ，sinθ），利用和角的三角函数，即可求C点的坐标．

解答 解：（1）由3$\overrightarrow{OA}$+4$\overrightarrow{OB}$+5$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$得3$\overrightarrow{OA}$+5$\overrightarrow{OC}$=-4$\overrightarrow{OB}$，
平方化简，得$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OA}$=-$\frac{3}{5}$，所以cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$＞=-$\frac{3}{5}$，
所以sin＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$＞=$\frac{4}{5}$．   
△AOC的面积是S=$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{OA}$||$\overrightarrow{OC}$|sin＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$＞=$\frac{2}{5}$；
（2）由（1）可知cos＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$＞=-$\frac{3}{5}$＜0，得＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$＞为钝角，
又-＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$＞-$\frac{π}{4}$=θ+2kπ或＜$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OC}$＞=θ+$\frac{π}{4}$+2kπ，k∈Z
所以-$\frac{5}{4}$π+2kπ＜θ＜-$\frac{3}{4}$π+2kπ或$\frac{1}{4}$π+2kπ＜θ＜$\frac{3}{4}$π+2kπ，k∈Z．
（3）由题意，C点的坐标为（cosθ，sinθ），进而$\overrightarrow{OC}$=cosθ，sinθ），
又$\overrightarrow{OA}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OC}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosθ-$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinθ=-sin（θ-$\frac{π}{4}$），
$\overrightarrow{OC}$•$\overrightarrow{OA}$=-$\frac{3}{5}$，于是有sin（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{3}{5}$，
当-$\frac{5}{4}$π+2kπ＜θ＜-$\frac{3}{4}$π+2kπ时，-$\frac{3}{2}$π+2kπ＜θ-$\frac{π}{4}$＜-π+2kπ，
所以cos（θ-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{4}{5}$
sinθ=sin[（θ-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=sin（θ-$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$+cos（θ-$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
从而cosθ=-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．  
当$\frac{1}{4}$π+2kπ＜θ＜$\frac{3}{4}$π+2kπ时，2kπ＜θ-$\frac{π}{4}$＜$\frac{1}{2}$π+2kπ，
所以cos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\frac{4}{5}$
cosθ=cos[（θ-$\frac{π}{4}$）+$\frac{π}{4}$]=cos（θ-$\frac{π}{4}$）cos$\frac{π}{4}$-sin（θ-$\frac{π}{4}$）sin$\frac{π}{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{10}$，
从而sinθ=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．  
综上，C点的坐标为（-$\frac{\sqrt{2}}{10}$，-$\frac{7\sqrt{2}}{10}$）或（$\frac{\sqrt{2}}{10}$，$\frac{7\sqrt{2}}{10}$）．

点评 本题考查向量知识的运用，考查三角形面积的计算，和角的三角函数，属于中档题．