Question

【题目】已知函数f（x）＝x2﹣x﹣alnx．

（1）当a＝3时，求f（x）在[1，2]上的最大值与最小值；

（2）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1），f（x）max＝0（2）

【解析】

（1）首先求出函数的导函数，利用导函数判断函数的单调性，再结合函数的定义域即可求解.

（2）利用导函数转化为f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，采用分离参数法即a≤2x2﹣x在（0，+∞）上恒成立，令，求在的最小值即可.

（1）解：当a＝3时，f（x）＝x2﹣x﹣3lnx（x＞0）；

；

∴f（x）在上单调递减，在上单调递增；

∴当x∈[1，2]时，；

f（1）＝0，f（2）＝2﹣3ln2；

∴f（x）max＝f（1）＝0；

（2）解：；

若f（x）在（0，+∞）上单调递增，

即在（0，+∞）上恒成立；

则a≤2x2﹣x在（0，+∞）上恒成立；

令g（x）＝2x2﹣x，则g′（x）＝4x﹣1；

易知，；

∴a，即a的取值范围是．