Question

从空间中一点P引三条射线PA，PB，PC，且三条射线两两成60°角，则二面角A-PB-C的平面角的余弦值是（　　）

• A、

  1

  3

• B、

  2

  3

• C、-

  1

  3

• D、-

  2

  3

Answer 1

分析：在射线PB上取一点M，过M作MA、MC垂直于PB分别相交射线PA、PC于点A、C，连接AC在△ACM中，作AN垂直于CM于点N，∠AMN就是二面角A-PB-C的平面角，解三角形AMN，即可得到二面角A-PB-C的余弦．

解答：解：在射线PB上取一点M，过M作MA、MC垂直于PB分别相交射线PA、PC于点A、C，
所以∠AMC就是二面角A-PB-C的平面角，连接AC，
由图可得，在直角△PAM中，∠APM=60°，令PM=a，则AP=2a，AM=

3

a，
同理，在直角△PCM中，∠CPM=60°，令PM=a，则CP=2a CM=

3

a．
因为∠APC=60°，PA=PC=2a，
所以△PAC为等边三角形，即AC=2a．
在△ACM中，作AN垂直于CM于点N，
令MN=b，CN=

3

a-b，AN=x，
由勾股定理可得，在△AMN中有：（

3

a）²-x²=b²；
在△ACN中有：（2a）²-x²=（

3

a-b）²，
联合两式消去x整理的，a=

3

b，即

b

a

=

3

3

，

b

3 a

=

1

3

，
所以二面角A-PB-C的余弦值是

1

3

．
故选A．

点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，其中作出二面角的平面角是解答本题的关键．