Question

如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.

已知α⊥γ，B⊥γ，α∩B=ｌ.

求证：ｌ⊥γ.

Answer 1

证法一:如图，

    在γ内取一点P，作PA垂直α与γ的交线于A，PB垂直B与γ

的交线于B，则PA⊥α，PB⊥B.

∵ｌ=α∩B，∴ｌ⊥PA，ｌ⊥PB.

∵α与B相交，∴PA与PB相交.

    又PAγ，PBγ，

∴ｌ⊥γ.

证法二:如图，

    在α内作直线m垂直于α与γ的交线，在B内作直线n垂直于B与

γ的交线，

∵α⊥γ，B⊥γ，∴m⊥γ，N⊥γ.

∴m∥N.

    又NB，∴m∥B.

∴m∥ｌ.∴ｌ⊥γ.

证法三:在ｌ上取一点P，过点P作γ的垂线ｌ′，

α∩B=ｌ′.

    但α∩B=ｌ，∴ｌ与ｌ′重合.

∴ｌ⊥γ.

点评:证法一、证法二都是利用“两平面垂直时，在一个平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线.这是证法一、证法二的关键.

    证法三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内”这一性质，添加了ｌ′这条辅助线，这是证法三的关键.

    通过此例，应仔细体会两平面垂直时，添加辅助线的方法.