Question

已知函数f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x
（1）求f（x）的最小正周期及单调递减区间；
（2）当x∈[

π

4

，

π

2

]时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考点：二倍角的余弦,两角和与差的正弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）首先对三角函数进行恒等变换，变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期和单调区间．
（2）直接利用第一步的结论，利用函数的定义域求出函数的最值．

解答： 解：（1）函数f（x）=2sin²（

π

4

+x）-

3

cos2x=2sin(2x-

π

3

)+1
所以：函数的最小正周期：
T=

2π

2

=π
令：

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z）
∴单调递减区间为[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]，k∈Z
（2）∵x∈[

π

4

，

π

2

]，
∴

π

6

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
即2≤1+2sin(2x-

π

3

)≤3，
∴f（x）_max=3，f（x）_min=2．

点评：本题考查的知识要点：三角函数的恒等变换，正弦型函数的最小正周期的求法，正弦型函数的单调性的应用及函数的最值，属于基础题型．