Question

已知点M（k，l）、P（m，n），（klmn≠0）是曲线C上的两点，点M、N关于x轴对称，直线MP、NP分别交x轴于点E（x_E，0）和点F（x_F，0），
（Ⅰ）用k、l、m、n分别表示x_E和x_F；
（Ⅱ）当曲线C的方程分别为：x²+y²=R²（R＞0）、时，探究x_E•x_F的值是否与点M、N、P的位置相关；
（Ⅲ）类比（Ⅱ）的探究过程，当曲线C的方程为y²=2px（p＞0）时，探究x_E与x_F经加、减、乘、除的某一种运算后为定值的一个正确结论．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）依题意N（k，-l），由klmn≠0及MP、NP与x轴有交点知M、P、N为不同点，直线PM的方程为，由此能够推导出x_E和x_F．
（Ⅱ）由M，P在圆C：x²+y²=R²上，知，（定值）．所以x_E•x_F的值是与点M、N、P位置无关．同理知x_E•x_F的值是与点M、N、P位置无关．
（Ⅲ）一个探究结论是：x_E+x_F=0．证明如下：依题意，，．由M，P在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，能够导出x_E+x_F为定值．
解答：解：（Ⅰ）依题意N（k，-l），且∵klmn≠0及MP、NP与x轴有交点知：（2分）
M、P、N为不同点，直线PM的方程为，（3分）
则，同理可得．（5分）
（Ⅱ）∵M，P在圆C：x²+y²=R²上，∴，
（定值）．
∴x_E•x_F的值是与点M、N、P位置无关．（8分）
同理∵M，P在椭圆C：上，∴，（定值）．
∴x_E•x_F的值是与点M、N、P位置无关．（11分）
（Ⅲ）一个探究结论是：x_E+x_F=0．（13分）
证明如下：依题意，，．
∵M，P在抛物线C：y²=2px（p＞0）上，∴n²=2pm，l²=2pk.．
∴x_E+x_F为定值．
点评：本题考查圆锥曲线和直线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．