Question

16．已知函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1）．
（1）若f（x）的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值；
（2）若f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，且对任意的x∈[1，2]，都有f（x）≤0，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）二次函数平方，通过f（x）在（-∞，a]上单调递减，又a＞1，f（x）的[1，a]上单调递减，结合定义域与值域列出方程，求解即可．
（2）通过f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，推出（-∞，2]⊆（-∞，a]，然后通过x∈[1，2]时，f（x）_max=f（1），f（x）≤0，求出结果即可．

解答 解：（1）∵f（x）=x²-2ax+5=（x-a）²+（5-a²），
∴f（x）在（-∞，a]上单调递减，又a＞1，∴f（x）的[1，a]上单调递减，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{f（1）=a}\\{f（a）=1}\end{array}}\right.$，∴$\left\{{\begin{array}{l}{1-2a+5=a}\\{{a^2}-2{a^2}+5=1}\end{array}}\right.$，∴a=2…（6分）
（2）∵f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，
∴（-∞，2]⊆（-∞，a]，
∴a≥2…（8分）
f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，
∴x∈[1，2]时，f（x）_max=f（1）…（10分）
又∵对任意的x∈[1，2]，都有f（x）≤0，
∴f（1）≤0，即1-2a+5≤0，∴a≥3…（12分）
注：各题其它解法酌情给分．

点评 本题考查二次函数的简单性质的应用，函数的单调性以及函数的值域的应用，考查转化思想以及计算能力．