Question

18．定义在区间（-1，1）上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+xy}$），且当x∈（-1，0），有f（x）＞0．
（1）判断f（x）在区间（-1，1）上的奇偶性，并给出理由；
（2）判断f（x）在区间（-1，1）上的单调性，并给出证明；
（3）已知f（$\frac{1}{2}$）=1，解不等式f（2x+1）+2＜0．

Answer 1

分析 （1）先利用赋值法研究函数f（x）的性质，令x=y=0得，f（0）=0，再令y=-x，得f（-x）=-f（x），所以该函数是奇函数；
（2）利用函数单调性的性质，结合条件关系即可判断函数的单调性；
（3）由f（$\frac{1}{2}$）=1，结合条件可得f（-$\frac{4}{5}$）=-f（$\frac{4}{5}$）=-2，即有f（2x+1）＜f（-$\frac{4}{5}$），可得不等式组，解得即可．

解答 解：（1）函数f（x）在区间（-1，1）是奇函数．
理由：由已知令x=y=0代入方程$f（x）+f（y）=f（{\frac{x+y}{1+xy}}）$，
可得f（0）=0，
再令y=-x代入方程$f（x）+f（y）=f（{\frac{x+y}{1+xy}}）$，
可得f（x）+f（-x）=f（0）
即f（-x）=-f（x）．
所以函数f（x）在区间（-1，1）是奇函数；
（2）f（x）在（-1，1）上是减函数．
理由：设-1＜x₁＜x₂＜1，
则有f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x²）=f（$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$），
∵-1＜x₁＜x₂＜1，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＜1，1-x₁x₂＞0，$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$+1=
$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}+1-{x}_{1}{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{（1-{x}_{1}）（1-{x}_{2}）}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$＞0，
∴-1＜$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$＜0，则f（$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$）＞0，
即f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（$\frac{{x}_{1}-{x}_{2}}{1-{x}_{1}{x}_{2}}$）＞0，
则f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（-1，1）上是减函数；
（3）f（2x+1）+2＜0，即为f（2x+1）＜-2，
由f（$\frac{1}{2}$）=1，可得2=f（$\frac{1}{2}$）+f（$\frac{1}{2}$）=f（$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{4}}$）=f（$\frac{4}{5}$），
则f（-$\frac{4}{5}$）=-f（$\frac{4}{5}$）=-2，
即有f（2x+1）＜f（-$\frac{4}{5}$），
由奇函数f（x）在（-1，1）上递减，
可得$\left\{\begin{array}{l}{-1＜2x+1＜1}\\{2x+1＞-\frac{4}{5}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜0}\\{x＞-\frac{9}{10}}\end{array}\right.$，
即为-$\frac{9}{10}$＜x＜0．
则解集为（-$\frac{9}{10}$，0）．

点评 本题主要考查抽象函数的应用．一般先利用赋值法求出f（0），f（1），f（-1）等等，然后判断函数的奇偶性，单调性等性质；考查定义法的运用，以及转化思想和学生的运算和推理能力，综合性较强，有一定的难度．