Question

1．在平面直角坐标系内，已知⊙O₁：（x+2）²+y²=1，⊙O₂：（x-2）²+y²=1，过平面内一点P分别作⊙O₁和⊙O₂的切线PM，PN，其中M，N为切点，且PM=$\sqrt{3}$PN，记△PMO₁和△PNO₂的面积分别为S₁，S₂，则（S₁+S₂）²的最大值为16+4$\sqrt{13}$+8$\sqrt{3}$+2$\sqrt{39}$．

Answer 1

分析 建立直角坐标系，设P点坐标，列方程，化简，求出P的轨迹方程，（S₁+S₂）²=$\frac{1}{4}$（PM+PN）²=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$PN²，求出PO₂²的最大值，即可得出结论．

解答 解：由题意，O₁（-2，0），O₂（2，0），
由已知PM=$\sqrt{3}$PN，得PM²=3PN²．
因为两圆的半径均为1，所以PO₁²-1=3（PO₂²-1）．
设P（x，y），则（x+2）²+y²-1=3[（x-2）²+y²-1]，
即（x-4）²+y²=13，
（S₁+S₂）²=$\frac{1}{4}$（PM+PN）²=$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$PN²，
求出PO₂²的最大值，即可得出结论．
∵PO₂的最大值为2+$\sqrt{13}$，
∴PO₂²的最大值为17+4$\sqrt{13}$，
∴PN²的最大值16+4$\sqrt{13}$，
∴（S₁+S₂）²的最大值为$\frac{2+\sqrt{3}}{2}$×（16+4$\sqrt{13}$）=16+4$\sqrt{13}$+8$\sqrt{3}$+2$\sqrt{39}$．
故答案为：16+4$\sqrt{13}$+8$\sqrt{3}$+2$\sqrt{39}$．

点评 本题考查轨迹方程，考查直线与圆的位置关系，考查面积的计算，确定P的轨迹方程是关键．