Question

若函数f（x）=x³-3x+m在[0，2]上存在两个不同的零点，则实数m的取值范围是________．

Answer 1

0≤m＜2
分析：利用导数求出函数f（x）的单调区间及极大值、极小值、f（0）、f（2），由函数f（x）=x³-3x+m在[0，2]上存在两个不同零点，可对f（0）、f（1）、f（2）的符号进行限制，由此可求出m的取值范围．
解答：f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
当x＜-1或x＞1时，f′（x）＞0，当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，
所以f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上单调递增；在（-1，1）上单调递减．
所以当x=-1时f（x）取得极大值f（-1）=2+m，当x=1时f（x）取得极小值f（1）=-2+m，f（0）=m，f（2）=2+m．
因为函数f（x）=x³-3x+m在[0，2]上存在两个不同的零点，
所以，即，解得0≤m＜2．
故答案为：0≤m＜2．
点评：本题考查应用导数研究函数的单调性、极值问题，考查分析问题解决问题的能力以及数形结合思想的应用．