Question

已知F（1，0），直线l：x=-1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

．
（Ⅰ）求动点P的轨迹曲线C的方程；
（Ⅱ）设动直线y=kx+m与曲线C相切于点M，且与直线x=-1相交于点N，试问：在x轴上是否存在一个定点E，使得以MN为直径的圆恒过此定点E？若存在，求出定点E的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出P点坐标，求出向量

QP

，

QF

，

FP

，

FQ

，代入坐标后直接得抛物线方程；
（Ⅱ）联立直线方程和抛物线方程，由判别式等于0得到m与k的关系，从而把M和N的坐标用含有m的代数式表示，设出E点坐标，由ME⊥NE代入坐标整理即可得到E点坐标．

解答：解：（Ⅰ）设点P（x，y），则Q（-1，y），由

QP

•

QF

=

FP

•

FQ

，得
（x+1，0）•（2，-y）=（x-1，y）•（-2，y），化简得y²=4x；
（Ⅱ）由

y=kx+m y2=4x

，得k²x²+（2km-4）x+m²=0，
由△=0，得km=1，从而有M（m²，2m），N(-1，-

1

m

+m)，
设点E（x，0），使得ME⊥NE，则(x-m2)(x+1)+(-2m)(

1

m

-m)=0．
（1-x）m²+x²+x-2=0，得x=1．
所以存在一个定点E（1，0）符合题意．

点评：本小题主要考查相关点法求轨迹方程和直线与抛物线的位置关系的判断和应用，解决直线与圆锥曲线的位置关系问题时，一般离不开联立方程组，所以要仔细运算，该题是中档题．