Question

设m，n∈N^*，f(x)＝(1＋2x)^m＋(1＋x)ⁿ.
(1)当m＝n＝2 011时，记f(x)＝a₀＋a₁x＋a₂x²＋…＋a_{2 011}x^{2 011}，求a₀－a₁＋a₂－…－a_{2 011}；
(2)若f(x)展开式中x的系数是20，则当m，n变化时，试求x²系数的最小值．

Answer 1

（1）-1（2）85

(1)令x＝－1，得a₀－a₁＋a₂－…－a_{2 011}＝(1－2)^{2 011}＋(1－1)^{2 011}＝－1.
(2)因为2＋＝2m＋n＝20，所以n＝20－2m，则x²的系数为2²＋＝4×＝2m²－2m＋(20－2m)(19－2m)＝4m²－41m＋190.
所以当m＝5，n＝10时，f(x)展开式中x²的系数最小，最小值为85.