Question

【题目】某工厂生产了一批高精尖的仪器，为确保仪器的可靠性，工厂安排了一批专家检测仪器的可靠性，毎台仪器被毎位专家评议为“可靠”的概率均为，且每台仪器是否可靠相互独立．

（1）当，现抽取4台仪器，安排一位专家进行检测，记检测结果可靠的仪器台数为，求的分布列和数学期望；

（2）为进一步提高出厂仪器的可靠性，工厂决定每台仪器都由三位专家进行检测，只有三位专家都检验仪器可靠，则仪器通过检测．若三位专家检测结果都为不可靠，则仪器报废．其余情况，仪器需要回厂返修．拟定每台仪器检测费用为100元，若回厂返修，每台仪器还需要额外花费300元的维修费．现以此方案实施，且抽检仪器为100台，工厂预算3.3万元用于检测和维修，问费用是否有可能会超过预算？并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）分布列详见解析，数学期望；（2）不会超过预算，理由详见解析．

【解析】

（1）该事件满足二项分布，由其概率计算公式分别计算随机变量为，，，，4的概率，即可列出分布列，再由np计算均值；

（2）设每台仪器所需费为X元，则X的可能取值为100，400，为100时，即都通过或都不通过，即可计算，再由对立事件概率计算方式求得，即可表示一台仪器花费的数学期望函数，利用导数求得最值，即可判定.

（1）题意知的所有可能取值为，，，，4，

且服从参数为的二项分布，

所以

，

，

，

，

．

故 的分布列为 ：

X	0	1	2	3	4
P

从而．

（2）设每台仪器所需费为X元，则X的可能取值为100，400．

，．

所以=，

化简得，

令，

，解得，

当，，在单调递增，

当，，在单调递减，

所以当时，的最大值为．

实施此方案，最高费用为元33000元，不会超过预算．