Question

设f（x）的定义域为{x|x∈R，x≠

k

2

，k∈Z}，且f(x+1)=-

1

f(x)

，f（x）为奇函数，当0＜x＜

1

2

时，f（x）=3^x．
（1）求f(

2013

4

)；
（2）当2k+

1

2

＜x＜2k+1(k∈Z)时，求f（x）的表达式；
（3）是否存在这样的正整数k，使得当2k+

1

2

＜x＜2k+1(k∈Z)时，关于x的不等式log3f(x)＞x2-kx-2k有解？

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由f(x+1)=-

1

f(x)

，可得f（x）的周期为T=2，从而得到f(

2013

4

)=f(502+

5

4

)=f(

5

4

)=f(1+

1

4

)=-

1

f( 1 4 )

=-3-

1

4

．
（Ⅱ）当2k+

1

2

＜x＜2k+1(k∈Z)时，可得 0＜2k+1-x＜

1

2

，f（2k+1-x）=3^2k+1-x．再由已知条件求得f（x）的解析式．
（Ⅲ）假设存在这样的正整数k，问题等价于 x²-（k+1）x+1＜0有解，故△=k²+2k-3=（k-1）（k+3）＞0，分k=1和k＞1两种情况进行研究，可得不存这样的正整数k．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x+1)=-

1

f(x)

，∴f(x+2)=-

1

f(x+1)

=f(x)，∴f（x）的周期为T=2．…（2分）
故 f(

2013

4

)=f(502+

5

4

)=f(

5

4

)=f(1+

1

4

)=-

1

f( 1 4 )

=-3-

1

4

．…（5分）
（Ⅱ）当2k+

1

2

＜x＜2k+1(k∈Z)时，有

1

2

＜x-2k＜1，∴0＜2k+1-x＜

1

2

，∴f（2k+1-x）=3^2k+1-x．
又∵f(2k+1-x)=f(1-x)=-

1

f(-x)

=

1

f(x)

，∴f（x）=3^x-2k-1（k∈Z）．…（10分）
（Ⅲ）假设存在这样的正整数k，由（Ⅱ）得log3f(x)＞x2-kx-2k，等价于x-2k-1＞x²-kx-2k，
即x²-（k+1）x+1＜0有解，∵△=k²+2k-3=（k-1）（k+3）＞0．
①若k=1时，则△=0，x²-（k+1）x+1＜0无解．
②若k＞1且k∈Z时，x²-（k+1）x+1＜0的解为

k+1- k2+2k-3 2 ＜x＜ k+1+ k2+2k-3 2 ＜k+1 2k+ 1 2 ＜x＜2k+1

，∴x∈∅．
故不存这样的正整数k．…（14分）

点评：本题主要考查函数的周期性、求函数的值、对数不等式和一元二次不等式的解法，属于中档题．