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    【题目】选修4-4：坐标系与参数方程

    已知曲线在平面直角坐标系下的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系．

    （1）求曲线的普通方程及极坐标方程；

    （2）直线的极坐标方程是，射线： 与曲线交于点与直线交于点，求线段的长．

    【答案】（1）， ；（2）.

    【解析】试题分析：（1）利用可消去参数，经圆的参数方程化为普通方程.令，可将圆的普通方程化为极坐标方程.（2）将 分别代入直线的极坐标方程和圆的极坐标方程，可求得两点对应的的值，两者作差即可求得的长.

    试题解析：（1）因为曲线的参数方程为（为参数），

    消去参数得曲线的普通方程为，

    又， ，

    ∴曲线的极坐标方程为.

    （2）由，

    故射线与曲线的交点的极坐标为；

    由，

    故射线与直线的交点的极坐标为，

    ∴.

    练习册系列答案
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    【题目】已知函数(其中为常数，).（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）当时，是否存在实数，使得当时，不等式恒成立？如果存在，求的取值范围；如果不存在，请说明理由(其中是自然对数的底数，).

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    （1）求实数的值；

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    【题目】交强险是车主必须为机动车购买的险种，若普通6座以下私家车投保交强险第一年的费用（基准保费）统一为元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就是越高，具体浮动情况如下表：

    交强险浮动因素和浮动费率比率表

    浮动因素

    浮动比率

    上一个年度未发生有责任道路交通事故

    下浮10%

    上两个年度未发生有责任道路交通事故

    下浮20%

    上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故

    下浮30%

    上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故

    0%

    上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故

    上浮10%

    上一个年度发生有责任道路交通死亡事故

    上浮30%

    某机构为了 某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：

    类型

    数量

    10

    5

    5

    20

    15

    5

    以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：

    （1）按照我国《机动车交通事故责任强制保险条例》汽车交强险价格的规定，，记为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求的分布列与数学期望；（数学期望值保留到个位数字）

    （2）某二手车销售商专门销售这一品牌的二手车，且将下一年的交强险保费高于基本保费的车辆记为事故车，假设购进一辆事故车亏损5000元，一辆非事故车盈利10000元：

    ①若该销售商购进三辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求这三辆车中至多有一辆事故车的概率；

    ②若该销售商一次购进100辆（车龄已满三年）该品牌二手车，求他获得利润的期望值．

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    【题目】已知函数.

    （1）讨论函数的单调性；

    （2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

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    【题目】写出下列函数的单调区间.

    (1)y＝|x＋1|; (2)y＝－x2＋ax；

    (3)y＝|2x－1|; (4)y＝－.

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    【题目】某电子元件厂对一批新产品的使用寿命进行检验，并且厂家规定使用寿命在为合格品，使用寿命超过500小时为优质品，质检科抽取了一部分产品做样本，经检测统计后，绘制出了该产品使用寿命的频率分布直方图（如图）：

    （1）根据频率分布直方图估计该厂产品为合格品或优质品的概率，并估计该批产品的平均使用寿命；

    （2）从这批产品中，采取随机抽样的方法每次抽取一件产品，抽取4次，若以上述频率作为概率，记随机变量为抽出的优质品的个数，列出的分布列，并求出其数学期望．

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    【题目】某研究小组在电脑上进行人工降雨模拟实验，准备用、、三种人工降雨方式分别对甲、乙、丙三地实施人工降雨，其试验数据统计如表：

    方式

    实施地点

    大雨

    中雨

    小雨

    模拟实验总次数

    甲

    4次

    6次

    2次

    12次

    乙

    3次

    6次

    3次

    12次

    丙

    2次

    2次

    8次

    12次

    假定对甲、乙、丙三地实施的人工降雨彼此互不影响，请你根据人工降雨模拟实验的统计数据：

    （Ⅰ）求甲、乙、丙三地都恰为中雨的概率；

    （Ⅱ）考虑到旱情和水土流失，如果甲地恰需中雨即达到理想状态，乙地必须是大雨才达到理想状态，丙地只能是小雨或中雨即达到理想状态，记“甲、乙、丙三地中达到理想状态的个数”为随机变量，求随机变量的分布列和数学期望．

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