Question

（本小题满分12分）
抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，直线x+y-1=0与抛物线相交于A、B两点，且。 
(1) 求抛物线方程；
(2) 在x轴上是否存在一点C,使得三角形ABC是正三角形? 若存在，求出点C的坐标，若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）（2）故在x轴上不存在一点C, 使三角形ABC是正三角形

试题分析：（1）设抛物线方程为
得：
设
则




抛物线方程是……………………………………………6分
（2）设AB的中点是D，则
假设x轴上存在一点C(x₀, 0)
因为三角形是正三角形，
所以CD⊥AB
得：

又
矛盾，故在x轴上不存在一点C, 使三角形ABC是正三角形…………12分
点评：解析几何的本质就是运用代数的方法，结合坐标来分析解析几何中的图形的性质。因此设而不求的思想，是解析几何中解答题的必须步骤，同时结合韦达定理来实现坐标关系，属于中档题。