Question

动点P与点F（0，1）的距离和它到直线l：y=-1的距离相等，记点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设点A（0，a）（a＞2），动点T在曲线C上运动时，|AT|的最短距离为a-1，求a的值以及取到最小值时点T的坐标；
（3）设P₁，P₂为曲线C的任意两点，满足OP₁⊥OP₂（O为原点），试问直线P₁P₂是否恒过一个定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是抛物线，且抛物线的焦点坐标为F（0，1），准线方程为l：y=-1，由此能求出曲线C的方程．
（2）设点T（x₀，y₀），x₀²=4y₀ （y₀≥0），|AT|=

[y0-(a-2)]2+4a-4

，由此能求出a的值以及取到最小值时点T的坐标．
（3）由题意得直线OP₁、OP₂的斜率都必须存在，记为k，-

1

k

，联立

y=kx x2=4y

，解得P₁（

4

k

，

4

k2

），同理P₂（-4k，4k²），由此能证明直线P₁P₂恒过点（0，4）．

解答： 解：（1）∵动点P与点F（0，1）的距离和它到直线l：y=-1的距离相等，
∴根据抛物线的定义可知，动点P的轨迹是抛物线，
且抛物线的焦点坐标为F（0，1），准线方程为l：y=-1，
所以曲线C的方程为x²=4y．…（4分）
（2）设点T（x₀，y₀），x₀²=4y₀ （y₀≥0），
|AT|=

(x0-0)2+(y0-a)2

=

[y0-(a-2)]2+4a-4

，
a-2＞0，则当y₀=a-2时，|AT|取得最小值为2

a-1

，
2

a-1

=a-1，a²-6a+5=0，a=5或a=1 （舍去），
所以y₀=a-2=3，x₀=±2

3

，所以T坐标为（±2

3

，3）；…（10分）
（3）由题意得直线OP₁、OP₂的斜率都必须存在，记为k，-

1

k

，
联立

y=kx x2=4y

，解得P₁（

4

k

，

4

k2

），同理P₂（-4k，4k²），
直线P₁P₂的斜率为

1-k2

k

，直线P₁P₂方程为：y-4k2=

1-k2

k

(x+4k)
整理得：k（y-4）+（k²-1）x=0，
所以直线P₁P₂恒过点（0，4）…（16分）

点评：本题考查曲线方程的求法，考查满足条件的实数值以及取到最小值时点的坐标的求法，考查直线是否恒过一个定点的判断与求法，解题时要注意函数与方程思想的合理运用．