Question

已知定义在实数集R上的函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2－x)，

    （1）证明：函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称；

    （2）若方程f(x)=0有三个根，并且已知x=0的方程的一个根，求方程另外两个根；

    （3）若函数y=f(x)是偶函数，并且当x∈[0，2]时，f(x)=2x－1，写出函数在[－4，0]上的解析式。

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明  设P(xo，yo)，是y=f(x)图象上任一点，则有y=f(xo)。又P(xo，yo)关于直线x=2的对称点是P′(4－xo，yo), 　　 ∴f(4－xo)=f[2＋(2－xo)]=f[2－(2－xo)]=f(xo)=yo，     ∴P(4－xo，yo)也在函数y=f(x)的图象上。     故y=f(x)的图象关于直线x=2对称。     (2)解  ∵x=0是方程的一个根，∴f(O)=0，     又f(O)=f(2－2)=f(2＋2)=f(4)，     ∴x=4是方程的一个根，     设另一个根为xo，即，f(xo)=0，     由，f(xo)=f[2＋(xo－2)]=f[2－(xo－2)]=f[4－xo]，     可知必有4－xo=xo，即xo=2，     所以方程另二根为x1=2，x2=4。     (3)解  ∵x∈[0，2]时，f(x)=2x－1     又函数图象关于直线x=2对称，∴x∈[2，4]时，f(x)=2(4－x)－1=7－2x，     ∵y=f(x)是偶函数。     ∴当x∈[－2，0]时，f(x)=2(－x)－1=－2x－1,     当x∈[－4，－2]时，f(x)=7－2(－x)=7＋2x，     故