【题目】定义在上的函数,如果满足:对任意,存在常数,都有成立,则称是上的有界函数,其中称为函数的一个上界.已知函数,.
(1)若函数为奇函数,求实数的值;
(2)在(1)的条件下,求函数在区间上的所有上界构成的集合;
(3)若函数在上是以5为上界的有界函数,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2);(3).
【解析】
试题(1)利用奇函数的定义,建立方程,即可求解实数的值.(2)求出函数在区间上的值域为,结合新定义,即可求得结论;(3)由题意得函数在上是以为上界的有界函数,即在区间上恒成立,可得上恒成立,求出左边的最大值右边的最小值,即可求实数的范围.
试题解析:(1)因为函数为奇函数,
所以,即,
即,得,而当时不合题意,故.
(2)由(1)得:,
而,易知在区间上单调递增,
所以函数在区间上单调递增,
所以函数在区间上的值域为,所以,
故函数在区间上的所有上界构成集合为.
(3)由题意知,在上恒成立,
,.
∴在上恒成立.
∴
设,,,由,得.
易知在上递增,
设,,
所以在上递减,
在上的最大值为,在上的最小值为,
所以实数的取值范围为.
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【题目】已知向量 =(cosωx﹣sinωx,sinωx), =(﹣cosωx﹣sinωx,2 cosωx),设函数f(x)= +λ(x∈R)的图象关于直线x=π对称,其中ω,λ为常数,且ω∈( ,1)
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若y=f(x)的图象经过点( ,0)求函数f(x)在区间[0, ]上的取值范围.
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【题目】如图为某班35名学生的投篮成绩(每人投一次)的条形统计图,其中上面部分数据破损导致数据不完全。已知该班学生投篮成绩的中位数是5,则根据统计图,则下列说法错误的是( )
A. 3球以下(含3球)的人数为10
B. 4球以下(含4球)的人数为17
C. 5球以下(含5球)的人数无法确定
D. 5球的人数和6球的人数一样多
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【题目】已知点P(﹣1,4)及圆C:(x﹣2)2+(y﹣3)2=1.则下列判断正确的序号为 .
①点P在圆C内部;
②过点P做直线l,若l将圆C平分,则l的方程为x+3y﹣11=0;
③过点P做直线l与圆C相切,则l的方程为y﹣4=0或3x+4y﹣13=0;
④一束光线从点P出发,经x轴反射到圆C上的最短路程为 .
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【题目】为迎接月日的“全民健身日”,某大学学生会从全体男生中随机抽取名男生参加米中长跑测试,经测试得到每个男生的跑步所用时间的茎叶图(小数点前一位数字为茎,小数点的后一位数字为叶),如图,若跑步时间不高于秒,则称为“好体能”.
(Ⅰ) 写出这组数据的众数和中位数;
(Ⅱ)要从这 人中随机选取人,求至少有人是“好体能”的概率;
(Ⅲ)以这 人的样本数据来估计整个学校男生的总体数据,若从该校男生(人数众多)任取人,记表示抽到“好体能”学生的人数,求的分布列及数学期望.
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【题目】甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行训练.每局两人单打比赛,另一人当裁判.每一局的输方去当下一局的裁判,而由原来的裁判向胜者挑战.半天训练结束时,发现甲共打局,乙共打局,而丙共当裁判局.那么整个比赛的第局的输方( )
A. 必是甲 B. 必是乙 C. 必是丙 D. 不能确定
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【题目】如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,D,E分别是AC,AB上的点,且DE∥BC,DE=2,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1C⊥CD,如图2.
(1)求证:A1C⊥平面BCDE;
(2)若M是A1D的中点,求CM与平面A1BE所成角的大小;
(3)线段BC上是否存在点P,使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由.
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