Question

按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为

m

m+a

；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为

a

n+a

．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h₁和h₂，则他对这两种交易的综合满意度为

h1h2

．现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为m_A元和m_B元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h_甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h_乙
（1）求h_甲和h_乙关于m_A、m_B的表达式；当mA=

3

5

mB时，求证：h_甲=h_乙；
（2）设mA=

3

5

mB，当m_A、m_B分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
（3）记（2）中最大的综合满意度为h₀，试问能否适当选取m_A，m_B的值，使得h_甲≥h₀和h_乙≥h₀同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．

Answer 1

分析：（1）表示出甲和乙的满意度，整理出最简形式，在条件mA=

3

5

mB时，表示出要证明的相等的两个式子，得到两个式子相等．
（2）在上一问表示出的结果中，整理出关于变量的符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出两个人满意度最大时的结果，并且写出等号成立的条件．
（3）先写出结论：不能由（2）知h₀=

2

3

．因为h_甲h_乙≤

4

9

，不能取到m_A，m_B的值，使得h_甲≥h₀和h_乙≥h₀同时成立，但等号不同时成立．?

解答：解：（1）甲：买进A的满意度为h_A1=

12

mA+12

，卖出B的满意度为h_B1=

mB

mB+5

；
所以，甲买进A与卖出B的综合满意度为h_甲=

hA1•hB1

=

12 mA+12 × mB mB+5

=

12mB (mA+12)( mB+5)

；
乙：卖出A的满意度为：h_A2=

mA

mA+3

，买进B的满意度为：h_B2=

20

mB+20

；
所以，乙卖出A与买进B的综合满意度h_乙=

hA2•hB2

=

mA mA+3 × 20 mB+20

=

20mA (mA+3)( mB+20)

；
 当mA=

3

5

mB时，h_甲=

12mB ( 3 5 mB+12)(mB+5)

=

20mB (mB+20)( mB+5)

，
h_乙=

20× 3 5 mB ( 3 5 mB+3)(mB+20)

=

20mB (mB+5)(mB+20)

，所以h_甲=h_乙
（2）设m_B=x（其中x＞0），当mA=

3

5

mB时，
h_甲=h_乙=

20x (x+5)(x+20)

=

20 x+ 100 x +25

≤

20 2 x• 100 x +25

=

20 45

=

2

3

；
当且仅当x=

100

x

，即x=10时，上式“=”成立，即m_B=10，m_A=

3

5

×10=6时，
甲、乙两人的综合满意度均最大，最大综合满意度为

2

3

（3）不能由（2）知h₀=

2

3

．因为h_甲h_乙≤

4

9

因此，不能取到m_A，m_B的值，使得h_甲≥h₀和h_乙≥h₀同时成立，但等号不同时成立．?

点评：本题考查函数模型的选择和应用，本题解题的关键是理解题意，这是最主要的一点，题目中所用的知识点不复杂，只要注意运算就可以．