Question

（2009•海淀区二模）如图①，有一条长度为2π的铁丝AB，先将铁丝围成一个圆，使两端点A、B恰好重合（如图②），再把这个圆放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，3），圆心为C（0，2），铁丝AB上有一动点M，且图③中线段|AM|=m，在图形变化过程中，图①中线段AM的长度对应于图③中的弧

ADM

的长度．图③中线段AM所在直线与x轴交点为N（n，0），当m=π时，则n等于

0

；当m∈[

π

2

，

5π

3

]时，则图③中线段AM所在直线的倾斜角的取值范围是

[

π

4

，

5π

6

]

．

Answer 1

分析：由题设条件知图③中弧

ADM

的长度=m，圆周长为2π，圆半径为1，当m=π时，N（n，0）与坐标原点重合，由此能求出n的值．当m=

π

2

时，∠NAO=45°，线段AM所在直线的倾斜角α=

π

4

；当m=

5π

3

时，点N位x轴正半轴，∠NAO=60°，线段AM所在直线的倾斜角α=

5π

6

．

解答：解：由题设条件知图③中弧

ADM

的长度=m，
圆周长为2π，圆半径为1，
∴当m=π时，N（n，0）与坐标原点重合，
∴n=0．
当m=

π

2

时，∠NAO=45°，线段AM所在直线的倾斜角α=

π

4

；
当m=

5π

3

时，点N位x轴正半轴，∠NAO=60°，线段AM所在直线的倾斜角α=

5π

6

；
∴当m∈[

π

2

，

5π

3

]时，
线段AM所在直线的倾斜角的取值范围是[

π

4

，

5π

6

]．
故答案为：0，[

π

4

，

5π

6

]．

点评：本题主要考查直线方程，直线的倾斜角和倾率，直线与圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．