Question

已知函数f(x)=

3

sinxcosx-cos2x+

1

2

（I）求函数f（x）的对称中心和单调区间；
（II）已知△ABC内角A、B、C的对边分别为a，b，3，且f（C）=1，若向量

m

=(1，sinA)与

n

=(2，sinB)共线，求a、b的值．

Answer 1

分析：（I）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质，可求函数f（x）的对称中心和单调区间；
（II）先求C，再利用向量共线及正弦定理、余弦定理，建立方程，即可求a、b的值．

解答：解：（I）f(x)=

3

sinxcosx-cos2x+

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

）
令2x-

π

6

=kπ，则x=

kπ

2

+

π

12

，∴函数f（x）的对称中心为（

kπ

2

+

π

12

，0）（k∈Z）；
令2x-

π

6

∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，可得x∈[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，∴函数的单调增区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）；令2x-

π

6

∈[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]，可得x∈[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，∴函数的单调减区间为[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]（k∈Z）；
（II）∵f（C）=1，∴sin（2C-

π

6

）=1，∵0＜C＜π，∴C=

π

3

，
∵向量

m

=(1，sinA)与

n

=(2，sinB)共线，
∴sinB=2sinA，∴b=2a
∵c=3，∴由余弦定理可得a²+b²-ab=9
∴a=

3

，b=2

3

．

点评：本题考查三角函数的化简，考查三角函数的性质，考查向量知识的运用，考查正弦、余弦定理，属于中档题．