Question

某公司生产的A种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（单位：十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如表：

x（十万元）	0	1	2	…
y	1	1.5	1.8	…

（Ⅰ）求y与x之间的函数关系式；
（Ⅱ）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；
（Ⅲ）如果投入的年广告费为x，x∈[10，30]万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？

Answer 1

分析：（I）二次函数的解析式为y=ax²+bx+c，利用表格数据，即可求出y与x之间的函数关系式；
（Ⅱ）根据利润看作是销售总额减去成本费和广告费，可得结论；
（III）利用配方法，可求最值．

解答：解：（I）设二次函数的解析式为y=ax²+bx+c．
由关系表，得

c=1 a+b+c=1.5 4a+2b+c=1.8

解得

a=- 1 10 b= 3 5 c=1

∴函数的解析式为y=-

1

10

x²+

3

5

x+1．
（II）根据题意，得S=10y（3-2）-x=-x²+5x+10
（III）S=-x2+5x+10=-(x-

5

2

)2+

65

4

∵1≤x≤3，∴当1≤x≤2.5时，S随x的增大而增大．
故当年广告费为10～25万元之间，公司获得的年利润随广告费的增大而增大

点评：本题考查函数模型的建立，考查配方法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．