Question

设P（a，b）（b≠0）是平面直角坐标系xOy中的点，l是经过原点与点（1，b）的直线，记Q是直线l与抛物线x²=2py（p≠0）的异于原点的交点
（1）若a=1，b=2，p=2，求点Q的坐标
（2）若点P（a，b）（ab≠0）在椭圆

x2

4

+y²=1上，p=

1

2ab

，
求证：点Q落在双曲线4x²-4y²=1上
（3）若动点P（a，b）满足ab≠0，p=

1

2ab

，若点Q始终落在一条关于x轴对称的抛物线上，试问动点P的轨迹落在哪种二次曲线上，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）将直线方程与抛物线方程联立姐方程求出交点坐标，
（2）将直线方程与抛物线方程联立求出交点Q的坐标；将P的坐标代入椭圆方程得到a，b满足的关系，变形得到Q的坐标满足双曲线方程，证出点Q在双曲线上．
（3）设出Q所在的抛物线方程，将Q的坐标代入得到a，b满足的方程；通过对p，c的分类讨论得到P所在的曲线．

解答：解：（1）当a=1，b=2，p=2时，
解方程组

x2=4y y=2x

得

x=8 y=16

即点Q的坐标为（8，16）（3分）
（2）证明：由方程组

x2= 1 ab y y=bx

得

x= 1 a y= b a

即点Q的坐标为(

1

a

，

b

a

)（5分）
∵P时椭圆上的点，即

a2

4

+b2=1
∴4(

1

a

)2-4(

b

a

)2=

4

a2

(1-b2)=1，
因此点Q落在双曲线4x²-4y²=1上（8分）
（3）设Q所在的抛物线方程为y²=2q（x-c），q≠0（10分）
将Q(

1

a

，

b

a

)代入方程，得

b2

a2

=2q(

1

a

-c)，即b²=2qa-2qca²（12分）
当c=0时，b²=2qa，此时点P的轨迹落在抛物线上；
当qc=

1

2

时，(a-

1

2c

)2+b2=

1

4c2

，此时点P的轨迹落在圆上；
当qc＞0且qc≠

1

2

时，

(a- 1 2c )2

1 4c2

+

b2

q 2c

=1，此时点P的轨迹落在椭圆上；
当qc＜0时

(a- 1 2c )2

1 4c2

-

b2

(- q 2c )

=1，此时点P的轨迹落在双曲线上；（16分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系常用的处理方法是将它们的方程联立、判断动点的轨迹常通过动点的方程来判断．